<t->
          Matemtica
          Ideias e desafios
          8 Ano 
          Ensino Fundamental          
          
          Iracema Mori
          Dulce Satiko Onaga

          Impresso Braille em 10 
          partes, na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 15 edio reformulada 
          -- 2009 So Paulo, 
          da Editora Saraiva.

          Oitava Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<p>
          Matemtica: Ideias e Desafios 
          -- 8 ano (Ensino 
          Fundamental)
          Copyright (C) Iracema Mori, 
          Dulce Satiko Onaga, 2009
          Direitos desta Edio:
          SARAIVA S.A. -- Livreiros 
          Editores, So Paulo, 2009 

          Gerente editorial 
          Marcelo Arantes
          Editora 
          Viviane de L. Carpegiani 
          Tarraf 
          Editores assistentes 
          Renato Alberto Colombo Jr.; Rita de Cssia Sam

          Todos os direitos reservados 
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<p>
                               I
Sumrio 

Oitava Parte

Unidade 10

Sistemas de equaes :::::: 819
1 -- Equao do 1 grau 
  com duas variveis ::::::: 822
Representao geomtrica 
  das solues ::::::::::::: 830
2 -- Sistemas de 
  equaes do 1 grau 
  com duas variveis ::::::: 841 
Sistemas de equaes :::::: 841
Resoluo de sistema de 
  equaes ::::::::::::::::: 843
Leitura + (mais) :::::::: 860
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 862

Unidade 11

Tringulos e 
  quadrilteros :::::::::::: 875
1 -- Construo de 
  tringulos ::::::::::::::: 877
2 -- Tringulos e 
  propriedades ::::::::::::: 882
Mediana de um 
  tringulo :::::::::::::::: 890
Altura de um tringulo :::: 892
Bissetriz de um 
  tringulo :::::::::::::::: 895
3 -- Tringulos: 
  movimentos e 
  congruncia :::::::::::::: 906
Casos de congruncia 
  entre tringulos ::::::::: 910
Outros casos de 
  congruncia de
   tringulos ::::::::::::::: 919
4 -- Tringulos 
  issceles, equilteros 
  e suas propriedades :::::: 932
Mediana, altura e 
  bissetriz de um 
  tringulo issceles :::::: 945

<264>
<ti. d. mat. 8 ano>
<T+819>
 Unidade 10

 Sistemas de equaes

  As balanas que aparecem nestas situaes esto em equilbrio. Alm disso, as caixas alaranjadas tm massas iguais entre si, assim como as azuis.

<R+>
_`[{figura adaptada e a coversa entre trs crianas; contedo a seguir_`]
 Uma balana em equilbrio: no prato da esquerda, h uma caixa alaranjada e no prato da direita, 2 caixas azuis. A menina diz: "Vocs so capazes de dizer quanto pesa cada caixa?"; O menino diz: "Se cada caixa azul pesar 5 kg, a caixa alaranjada ter 10 kg."; Outro menino diz: "Mas cada caixa azul pode ter 10 kg... e a alaranjada, 20 kg!".
<R->
<P>
  Situaes como essa so representadas em Matemtica por equaes do 1 grau com duas variveis.
  A massa de cada caixa alaranjada pode ser representada por *x* e a da caixa azul, por *y*, e escrevemos a equao x=2y. Essa  uma equao com infinitas solues.

<R+>
_`[{figura adaptada e a coversa entre trs crianas; contedo a seguir_`]
 Uma balana em equilbrio: no prato da esquerda, h 2 caixas alaranjadas e 1 caixa azul, no prato da direita, um peso de 10 kg, um peso de 3 kg e um peso de 2 kg. A menina diz: "E agora? Qual a massa de cada caixa?"; o menino diz: "Bom, cada caixa alaranjada pode ser substituda por duas azuis..."; outro menino fica em dvida: "?!?".
<R->

<265>
<P>
<R+>
_`[{figura adaptada_`]
 Uma balana em equilbrio: no prato da esquerda, h 5 caixas azuis e no prato da direita, um peso de 10 kg, um peso de 3 kg e um peso de 2 kg.
<R->

  Observe que, acrescentando outra informao sobre as caixas que esto na balana, podemos determinar a massa de cada uma. 
  A segunda informao pode ser traduzida pela equao 2x+y=15. As equaes x=2y e 2x+y=15 formam um sistema de equaes.

<R+>
_`[{figura adaptada e a conversa entre duas crianas; contedo a seguir_`]
 Sobre uma mesa esto vrias moedas. A menina diz: "So R$50,00 em moedas!"; o menino diz: "So 65 moedas. Algumas so de R$1,00, outras so de R$0,50... Quantas moedas de R$0,50 esto a?".
<R->

  Tambm nessa situao podemos resolver o problema por meio de um sistema de equao.
  As equaes desempenham um papel importante na resoluo de problemas em Matemtica. Situaes-problema que envolvem um nmero podem ser resolvidas por meio de equaes do 1 grau com uma incgnita. No entanto, as que envolvem dois nmeros podem ser resolvidas por meio de equaes do 1 grau com duas variveis.
  Ento, vamos aprender mais sobre sistema de duas equaes do 1 grau, com duas variveis, que nos auxiliam a resolver problemas como esses que foram propostos.
<R+>
  Voc sabe como resolver os problemas propostos? Converse com os colegas sobre isso e tentem descobrir uma soluo.
<R->

<266>
 1 -- Equao do 1 grau com 
  duas variveis

  Vamos analisar e resolver problemas que envolvem equaes do 1 grau com duas variveis e aprender a represent-las graficamente.

<R+>
 wr
  Considere a massa das caixas alaranjada e azul da figura a seguir, na qual a balana est em equilbrio. Se cada caixa azul pesar 3 kg, quanto pesar a caixa alaranjada?
  Se a caixa alaranjada pesar 3 kg, quanto pesar cada caixa azul?
  Escreva em seu caderno uma equao que traduza a situao dada.

 As caixas azuis tm massas iguais.

_`[{figura adaptada_`]
 Uma balana em equilbrio: no prato da esquerda, h 1 caixa alaranjada e no prato da direita, duas caixas azuis.
<R->

  A situao apresentada envolve dois nmeros reais e pode ser representada por uma equao do 1 grau com duas variveis.

<R+>
 x -- massa da caixa alaranjada
 y -- massa da caixa azul
 equao: x=2y

 *x* e *y* so nmeros reais positivos.
<R->

  A equao x=2y ou x-2y=0  uma equao do 1 grau com duas variveis.
  Veja outros exemplos:
 1) -3x+y=-4 
 2) ?m-2n*~5=-6n+2 
 3) 5p-?1-4t*~2=-1

 Soluo

  A soma de dois nmeros reais  2.

_`[{o professor diz_`]
  "Podemos escrever a equao x+y=2."
<P>
_`[{o menino diz_`]
  "-2 para *x* e 4 para *y* so solues!"

_`[{a menina diz_`]
  "E `(-2,#d`)  um par ordenado..."

<R+>
 wr
  O que significa dizer que o par ordenado `(-2,#d`)  soluo da equao x+y=2?
  O par ordenado `(-1,#d`)  uma soluo da equao x+y=2?
<R->

  Na equao x+y=2, se atribuirmos valores reais a *x* e a *y* obteremos sentenas que podero ser verdadeiras ou falsas. Observe esta tabela:

<R+>
_`[{tabela adaptada em quatro colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: x
 2 coluna: y
 3 coluna: x+y=2
 4 coluna: Sentena

 -3; 2; -3+2=2; falsa
 0; 2; 0+2=2; verdadeira
 7; 3; 7+3=2; falsa
 -#,b; #?b; -#,b+#?b=#b=2; 
  verdadeira
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Nesta tabela escolhemos valores reais quaisquer para *x* e *y*".

<267>
  Ao observarmos essa tabela, podemos afirmar que:
<R+>
  para x=0 e y=2, a sentena  verdadeira -- x=0 e y=2  soluo de x+y=2 ou o par ordenado `(0,#b`)  soluo de x+y=2.
  para x=-#,b e y=#?b, a sentena  verdadeira -- x=-#,b e y=#?b  soluo de x+y=2 ou o par ordenado `(-#,b,#?b`)   soluo de x+y=2.
<R->

  Em equaes como essas, para cada valor de uma das variveis pode-se calcular o valor da outra, de modo que o par ordenado formado 
<P>
 por elas seja soluo da equao. Por exemplo,
<R+>
  substituindo *x* por #,b
 #,b+y=2
 y=2
 y=2-#,b=?4-1*~2
 y=#:b.
<R->

  O par ordenado `(#,b,#:b`)  soluo da equao x+y=2.

<R+>
 Em `(#,b,#:b`) o primeiro nmero  o valor de *x* e o segundo, o de *y*.
<R->

  substituindo *y* por -20 
 x+`(-20`)=2 
 x=-20=2 
 x=2+20 
 x=22
 
  O par ordenado `(22,-#bj`)  soluo da equao x+y=2.
<P>
<R+>
 wr
  Se *x* e *y* representam nmeros reais, quantas solues tem essa equao?
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "x+y=2 tem infinitas solues."

  Para cada valor de *x* a equao de 1 grau que se obtm substituindo *x* por esse valor em x+y=2 tem como raiz um nmero real que ser o valor de *y*.
  Como existem infinitivos nmeros reais que podem ser atribudos a *x*, teremos infinitos valores para *y*.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Verifique se o par ordenado `(#;c,-#?c`)  soluo da equao x-2y=4.
<P>
 2. Considere a equao -4m+n=-1 e responda:
 a) Se n=-#:e, qual dever ser o valor de *m* para que eles formem uma soluo dessa equao?
 b) Qual  a soluo dessa equao para m=-9?

 3. O dobro da quantia que Ana possui excede em R$47,00 a quantia que Renato tem.
 a) Escreva uma equao que represente essa situao.
 b) Se Ana tiver R$439,00, quanto ter Renato?
 c) E se Renato tiver R$658,00, qual ser a quantia de Ana?

 4. Um retngulo tem 50 cm2 de rea.
 a) Escreva uma equao que represente essa informao.
 b) Se esse retngulo tiver 4 cm de largura, qual ser a medida do seu comprimento?
<P>
 c) D outros valores que podero ser atribudos para o comprimento e a largura desse retngulo.

 5. Determine cinco solues da equao y=-7x+10, escolhendo valores quaisquer para *x*.

 6. Para cada equao determine duas solues em _r:
 a) y=-12x-1 
 b) y=?4x+3*~5   
 c) 4x+y=11
 d) x+9y=18
<R->

<268>
 Representao geomtrica das 
  solues

 Par ordenado

  Os pares ordenados formados por nmeros reais podem ser representados por pontos de um plano.

_`[{o professor diz_`]
  "P  o ponto que representa o par ordenado `(3,#b`)."

<F->
       y
       l
       l
     3r
       l
       l               _P
     2r:::::::::::::::w:::
       l               _
       l               _
     1r               _
       l               _
       l               _
::::g:::::g:::g:::g:::g:::::::> x
   -1 l0 1  2  3  4  
       l
    -1r
       l
       l
<F+>

<R+>
  eixo *x* e eixo *y* so retas perpendiculares;
  para o par ordenado `(3,#b`), 3  marcado no eixo *x* e 2, no eixo *y*;
  P  a interseco das retas perpendiculares aos eixos pelos pontos marcados nesses eixos.
<R->

  Chamamos essa representao de plano cartesiano, pois ela se deve a Ren Descartes, filsofo e matemtico francs que viveu no sculo XVII.

_`[{o professor diz_`]
  "A palavra cartesiano vem de *Cartesius*, nome de Descartes em latim."

<R+>
 wr
  Quais so os pares ordenados representados pelos pontos destacados na figura a seguir _`[no adaptada_`]?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Equaes de 1 grau com duas 
  variveis

  Algumas das infinitas solues da equao x+y=2 so os pares ordenados formados pelos valores de *x* e de *y*: `(-2,#d`); `(-1,#c`); `(0,#b`); `(2,#j`); `(5,-#c); `(6,-#d).

_`[{figura no adaptada_`]

_`[{o professor diz_`]
  "Podemos representar essas solues por pontos no plano cartesiano. Esses pontos esto alinhados sobre uma reta."

<269>
   possvel mostrar que todas as infinitas solues da equao x+y=2 esto nessa reta, e todos os pontos dessa reta representam pares ordenados `(x,y`) que so solues dessa equao.
  Observe como fazemos para y=2x:

_`[{o professor diz_`]
  "Escolhemos valores para *x* e calculamos os valores correspondentes de *y*."
<P>
<R+>
_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Valores para x
 2 coluna: y=2.x
 3 coluna: Solues x,y

 0; y=2.0=0; 0,#j
 1; y=2.1=2; 1,#b
 2; y=2.2=4; 2,#d
 -2; y=2.-2=-4; 2,-#d
 -1; y=2.-1=-2; -1,-#b
<R->

  As solues de y=2x so representadas por pontos de uma reta _`[no adaptada_`].

_`[{o professor diz_`]
  "Uma reta? Ento bastam dois pontos."

  Como se trata de uma reta, bastam dois pontos para desenh-la; por exemplo, `(0,#j`) e `(2,#d`).
  Portanto, bastam dois pares ordenados que sejam solues da equao y=2x para que possamos represent-la geometricamente. Observe que os outros pares ordenados da tabela, que so solues dessa equao, tambm so representados por pontos dessa reta.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 7. Entre os pares ordenados do quadro a seguir, quais so representados por pontos que pertencem ao eixo das abscissas?
 
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::
l `(-5,#j`), `(#,d,#,d`), `(0,#h`),_
l `(#,c,0`)                     _
h::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

 8. Escreva trs pares ordenados cuja representao geomtrica seja um ponto do eixo *y*.
<P>
 _`[{para as atividades 9 e 10, pea orientao ao professor_`]

 9. Desenhe, em uma folha de papel quadriculado, um plano cartesiano e represente nele os pares ordenados dados.

 A`(2,#a`), B`(-#c,-#d`), M`(0,-#a`), N`(-#c,#b`).

 a) Trace a reta que passa pelos pontos A e B.
 b) Trace a reta que passa pelos pontos M e N.
 c) Qual par ordenado  representado pelo ponto comum dessas retas?

 10. As solues das equaes x+y=9 e x-2y=-6 so pares ordenados do tipo `(x,y`).
 a) Verifique se o par ordenado `(4,#e`)  soluo dessas equaes.
<P>
 b) Represente geometricamente essas equaes em uma folha de papel quadriculado.
 c) Essas equaes, quando representadas em um mesmo plano cartesiano, tero um s ponto comum. Quais so as coordenadas correspondentes a esse ponto?
<R->

<270>
 Problema resolvido

<R+>
 11. A reta que representa a equao 2x-y=3 no plano cartesiano intercepta o eixo *x* em um ponto. Que coordenadas tem esse ponto?

 ponto do eixo x: y=0 
 2x-0=3 
 2x=3 
 x=#:b

 Resposta: A reta intercepta o eixo *x* no ponto de coordenadas `(#:b,0`).
<P>
 12. A reta que representa a equao y=2x+1, em um plano cartesiano, intercepta o eixo *y* em um ponto. Quais so as coordenadas desse ponto?

 Troque ideias e resolva
<R->

  Muitos pases usam o grau *Fahrenheit* como unidade de medida de temperatura.
  Alguns avies a jato, por exemplo, exibem, em uma tela de televiso, a temperatura externa em graus Celsius e em graus 
 Fahrenheit durante o voo. A relao entre essas temperaturas  uma equao do 1 grau com duas variveis.

 C=#?i`(F-32`)

<R+>
  Se no momento da decolagem a temperatura externa for de 25C, qual dever ser, em graus Fahrenheit, a temperatura registrada na tela?
<P>
  A 10.000 ps (aproximadamente 3.000 metros) de altitude a temperatura externa pode chegar a cerca de -42C. A quantos graus Fahrenheit corresponde essa temperatura?
<R->

 Seo + (mais)

 Simetria no plano cartesiano

<R+>
  Os tringulos a seguir _`[no adaptados_`] so figuras simtricas em relao ao eixo das ordenadas. Copie e complete a tabela com as coordenadas dos pontos respectivamente simtricos a A, B e C.

 A l-se A linha.
 B l-se B linha.
<P>
<F->
!::::::::::::::::::::::::
l Pontos   _ Pontos     _
l           _ simtricos  _
r:::::::::::w:::::::::::::w
l A`(1,#b`) _     '''     _
r:::::::::::w:::::::::::::w
l B`(1,#j`) _     '''     _
r:::::::::::w:::::::::::::w
l C`(3,#a`) _     '''     _
h:::::::::::j:::::::::::::j
<F+>

  Que relao existe entre as coordenadas dos pontos e de seus simtricos em relao ao eixo das ordenadas?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<271>
<P>
 2 -- Sistemas de equaes do 
  1 grau com duas variveis

 Sistema de equaes

  Reveja esta situao que foi apresentada na abertura da unidade.

<R+>
_`[{figura adaptada e a conversa entre as duas crianas; contedo a seguir_`]
 Sobre uma mesa esto vrias moedas. A menina diz: "So R$50,00 em moedas!"; o menino diz: "So 65 moedas. Algumas so de R$1,00, outras so de R$0,50... Quantas moedas de R$0,50 esto a?".

 wr
  As informaes dadas podem ser representadas por meio de duas equaes. Quais so elas?
<R->
<P>
  Podemos resolver esse problema por meio de um sistema de equaes.
  Representamos por *x* o nmero de moedas de R$1,00, por *y* o nmero de moedas de R$0,50 e traduzimos as informaes dadas:

<R+>
 n.o de moedas de R$1,00 com o n.o de moedas de R$0,50  igual a 65
 x+y=65 

 N.o de moedas -- Valor `(R$`)
 *x* moedas de R$1,00 -- 1.x
 *y* moedas de R$0,50 -- 0,50y
 1.x+0,50y=50 ou x+0,5y=50
<R->

  Essas duas equaes formam o sistema de equaes do 1 grau com duas variveis indicado a seguir.

 x+y=65 e x+0,5y=50

<272>
<P>
 Resoluo de sistema de equaes

  Existem vrias maneiras de resolver um sistema de equaes do 1 grau com duas variveis. J conhecemos algumas delas. Vamos rever o que aprendemos e conhecer um novo mtodo de resoluo.

 Mtodo da substituio

  Vamos resolver o sistema obtido no problema das moedas pelo mtodo da substituio:

 N.o de moedas  
 R$1,00 -- x  
 R$0,50 -- y  

 Valor `(R$`)
 1.x ou x 
 0,50.y ou 0,5y

 Equaes
 x+y=65 e x+0,5y=50
<P>
  Nesse mtodo, isolamos uma das variveis em uma das equaes do sistema. Por exemplo, *y* na primeira equao:

 x+y=65 
 y=65-x

  Em seguida, substitumos *y* por `(65-x`) na segunda equao:

 x+0,5y=50 
 x+0,5`(65-x`)=50
 x+0,5.65-0,5x=50
 0,5x+32,5=50 
 0,5x=50-32,5
 0,5x=17,5 
 x=17,50,5
 x=35

 valor de *y*
 y=65-x 
 y=65-35=30 
 y=30

  Verificao: Atribumos os valores 35 a *x* e 30 a *y* nas duas equaes do sistema e verificamos se as sentenas obtidas so verdadeiras.

 x=35 e y=30
 x+y=65 
 35+30=65 (Verdadeira.)
 x+0,5y=50 
 35+0,5.30=50
 35+15=50 (Verdadeira.) 

  Portanto, so 35 moedas de R$1,00 e 30 moedas de R$0,50.

 Mtodo da adio

   possvel resolver este sistema adicionando, membro a membro, as duas equaes.

<R+>
_`[{figura adaptada e a conversa do professor com dois alunos; contedo a seguir_`]
 Na lousa est escrito: "Determine a soluo `(x,y`) do sistema 2x-4y=-25 e 5x+4y=4." O professor diz: "Neste sistema as equaes tm termos opostos..."; a menina diz: "A soma +4y-4y  igual a zero."; o menino diz: "J sei!!! +4y e -4y so opostos.".

 wr
  Que equao resulta dessa adio?
<R->

<273>
  Vamos resolver o sistema apresentado na situao anterior pelo mtodo da adio.

 2x-4y=-25 e 5x+4y=4
 -4y e +4y so termos opostos.
 -4y+4y=0

  Adicionamos membro a membro as duas equaes e cancelamos -4y com +4y. Dessa forma, eliminamos a varivel *y*.

_`[{o professor diz_`]
  "O resultado  uma equao com varivel *x*."

 2x-4y=-25
 +5x+4y=4
 7x+0y=-21
 7x=-21 
 x=-3

  Substituindo *x* por -3 em uma das equaes desse sistema, calculamos o valor de *y*:

 Escolhemos 5x+4y=4

 5.`(-3`)+4y=4
 -15+4y=4
 4y=4+15 
 y=#,*d ou y=4,75

  A soluo desse sistema de equaes  o par ordenado `(-3,#,*d`) ou `(-3;4,75`).
  Essa soluo pode ser representada geometricamente. Para isso, representamos as duas equaes do sistema no plano cartesiano por retas. O ponto comum a elas representa a soluo do sistema.

_`[{figura no adaptada_`]
<P>
<R+>
_`[{tabelas adaptadas; contedo a seguir_`]
<R->

<F->
2x-4y=-25
!::::::::::::::::::::::::
l Valores  _ Pares      _
l           _ ordenados   _
r::::::::::w:::::::::::::w
l x    _ y  _ x,y       _
r::::::w::::w:::::::::::::w
l -#?b _ 5 _ -#?b,#e   _
r::::::w::::w:::::::::::::w
l #:b  _ 7 _ #:b,#g    _
h::::::j::::j:::::::::::::j

5x+4y=4
!::::::::::::::::::::::::
l Valores  _ Pares      _
l           _ Ordenados  _
r::::::::::w:::::::::::::w
l x    _ y  _ x,y       _
r::::::w::::w:::::::::::::w
l -4  _ 6 _ -4,#f    _
r::::::w::::w:::::::::::::w
l 0   _ 1 _ 0,#a     _
h::::::j::::j:::::::::::::j
<F+>
<P>
  O ponto P tem coordenadas `(-3,#,*d`) e representa a soluo do sistema.
<274>
  Veja outro exemplo:
  Resolva o sistema 2x+2y=104 e x-3y=4 usando o mtodo da adio.
  Note que no h termos opostos nessas equaes: na primeira equao, temos o termo 2x e, na segunda, *x*. Multiplicamos a segunda equao por -2 e obtemos -2x, que  o oposto de 2x.

 2x+2y=104 e x-3y=4 :> .`(-2`) 
 2x+2y=104 e -2.x-`(-2`).3y=
  =`(-2`).4
 2x+2y=104 e -2x+6y=-8

 Adicionamos as equaes.

 2x+2y=104
 +?-2x+6y*=-8
 0x+8y=96 
 y=#*!h
 y=12
<P>
  Substitumos *y* por 12 na segunda equao do sistema e calculamos o valor de *x*:

 x-3y=4 
 x-3.12=4 
 x-36=4 
 x=4+36 
 x=40

  O par ordenado `(40,#ab`)  a soluo do sistema dado.
  De modo geral, resolvemos um sistema de duas equaes do 1 grau com duas variveis pelo mtodo da adio, adicionando, membro a membro, as duas equaes e obtendo uma terceira.  conveniente que a equao obtida tenha uma s incgnita. Isso ocorrer quando o sistema de equaes tiver termos com a mesma varivel e que sejam opostos, em que a soma  igual a zero.
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 13. Determine as solues dos sistemas de equaes a seguir, desenhando duas retas que representam as equaes:
 a) x-y=-2 e 2x=y
 b) x=y-3 e -x+2y=4
 c) x+y=-1 e #;cx-y=-4

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 14. Resolva, em _r, os sistemas a seguir utilizando o mtodo da substituio:
 a) 5x=2y e x-y=3
 b) 4x=3y e x-2y=10
 c) m+3n=-1 e m+4n=-#,e

 15. Explique com suas palavras que procedimento desenvolvemos 
<P>
  ao resolver um sistema pelo mtodo da adio.

 16. Se *x* e *y* representam nmeros reais, que pares ordenados `(a,b`) so solues dos sistemas de equaes a seguir?
 a) x+y=22 e 2x-y=20
 b) 2x-y=4 e x+2y=-3
 c) 7x-y=-2 e x+5y=-26

<275>
 17. Nestes sistemas, *x* e *y* representam nmeros reais. Resolva cada um deles utilizando o mtodo da adio.
 a) x+y=8 e x-y=-2
 b) 3x-y=7 e 4x-5y=2
 c) 5x-8y=8 e x+y=12
 d) 3x+y=27 e 2y=3x

 Problema resolvido

 18. Resolva o sistema 5x+2y=-7 e 2x+3y=1 usando o mtodo da adio.
<R->
<P>
_`[{o professor diz_`]
  "Multiplicamos a primeira equao por 2... ... e a segunda por -5."

<R+>
 5x+2y=-7 e 2x+3y=1
 2.5x+2.2y=2.`(-7`) e `(-5`).2x+`(-5`).3y=`(-5`).1

 O novo sistema de equaes equivalente ao primeiro :

 10x+4y=-14 e -10x-15y=-5
 10x e -10x so termos opostos.

 Adicionamos, membro a membro, as duas equaes:

 10x+4y=-14
 -10x-15y=-5
 -11y=-19
 y=#,*aa

 Calculamos *x* substituindo *y* por #,*aa em uma das equaes desse sistema:

 2x+3y=1 
 2x+3.#,*aa=1
 2x+#?=aa=1
 2x=1-#?=aa
 2x=-#!aa
 x=-#!bb=-#;:aa

 Resposta: A soluo do sistema  o par ordenado `(-#;:aa,#,*aa`).

 19. Nos sistemas a seguir, *x* e *y* representam nmeros reais. Resolva cada um deles utilizando o mtodo da adio.
 a) 4x-3y=4 e 3x+4y=78
 b) 2x-3y=-1 e 7x-2y=19
 c) 18x+3y=-96 e 5y+6x=-40
 d) 5x-4y=-9 e -2x+3y=12

 Troque ideias e resolva

  Como se resolve o sistema a seguir pelo mtodo da comparao?

 2x-y=3 e -3x+y=3
<R->
<P>
  Depois de conversar com seus colegas, resolva-o por esse mtodo.

<276>
 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 20. A diferena entre dois nmeros naturais  20. Um deles  #;g do outro. Que nmeros so esses?
 21. A soma de dois nmeros racionais  70 e a diferena dividida pelo nmero menor d quociente 8. Determine esses nmeros.
 22. A razo entre dois nmeros inteiros  de 12 para 7 e a diferena entre eles  25. Que nmeros so esses?

 23. Determine o par ordenado `(a,b`) que  soluo de cada um dos sistemas de equaes a seguir:
 a) 5a+2b=-18-b e 3b=a+26
 b) 10a+8b=5a-12b-13 e 15a-4b=16b+21

 24. Escolha um dos mtodos que voc aprendeu e resolva estes sistemas:
 a) 5.`(x+y`)-2.`(2x-1`)=1 e 2.`(x+y`)+2.`(x+2y`)=3
 b) 3y~4+7x~2=-12 e y~3+5x~3=-6
 c) 6x~5=-5-y~4 e 2.`(x+2`)=3.`(y-6`)
 d) ?16x+9y*~4=6`(x+y`) e 3y=?-1-6x*~5
 e) ?x-8y*~4=1 e ?6x+2y+1*~5=0
 f) ?8x+y-3*~2=-1 e ?4x-y-5*~3=-3

 25. A soma dos nmeros da casa em que mora Mnica e de onde mora sua me  132. Esses nmeros so escritos com os mesmos algarismos, porm em posies trocadas, e a diferena entre esses algarismos  2. Qual  o 
<P>
  nmero da casa de cada uma delas?
 26. Um nmero  escrito com dois algarismos. O quociente do algarismo das dezenas pelo das unidades  3. Invertendo a ordem dos algarismos, obtemos um novo nmero, que tem 36 unidades a menos que o primeiro. Que nmero  esse?
 27. Joo tem R$315,00 na carteira em notas de R$10,00 e de R$5,00. A quantidade de notas de R$10,00  o triplo da quantidade de notas de R$5,00. Quantas notas de R$10,00 ele tem na carteira? E de R$5,00?
 28. Paulo e Mariana gastaram R$48,00 tomando lanche juntos. Tirando-se R$6,00 do que cada um pagou, o restante da quantia paga por Paulo  o dobro do que restou da despesa de Mariana. Quanto gastou cada um deles?
 29. Um estacionamento cobra por perodo os valores marcados no quadrado a seguir. Certo dia, ao final do perodo da manh o caixa registrou R$290,50 para um total de 47 carros e motos que usaram o estacionamento.

<F->
!:::::::::::::::::::
l  Estacione       _
l  Perodo         _
r:::::::::::::::::::w
l            R$    _
l  Moto  -- 3,50  _
l  Carro -- 8,00  _
h:::::::::::::::::::j
<F+>
 
 Quantos carros usaram o estacionamento nesse perodo? E quantas motos?
<R->

 Troque ideias e resolva

  Um nmero natural  escrito com dois algarismos. A soma desses algarismos  6.
  Subtraindo 18 unidades desse nmero obtm-se outro com os mesmos algarismos em ordem invertida.
<P>
 algarismo das dezenas -- x
 algarismo das unidades -- y
 nmero -- xy=10x+y

  Que nmero  esse?

<277>
 Seo + (mais)

 O nmero escondido na cartela

  Um nmero escrito em uma cartela tem dois algarismos cuja soma  10. Trocando os algarismos de lugar, o novo nmero ser 18 unidades menor que o nmero que est na cartela.

_`[{a menina diz_`]
  "Qual  o nmero da cartela?"; ao lado da menina h cartelas com os nmeros 37, 73, 55, etc.
<P>
 Leitura + (mais)

 Descartes e o plano cartesiano

  Ren Descartes nasceu na cidade de La Haye em Touraine, Frana, em 1596.
  Ele  chamado por muitos de "o fundador da filosofia moderna".  considerado tambm o pai da Matemtica moderna e um dos pensadores mais importantes e influentes da Histria do Pensamento Ocidental.
  O reconhecimento matemtico foi obtido por sugerir a fuso da lgebra com a Geometria, o que deu origem a uma parte importante da Matemtica chamada Geometria Analtica e ao sistema de coordenadas cartesianas. A palavra "cartesiana" tem origem no seu nome. Seus trabalhos permitiram, tambm, o desenvolvimento de outras reas cientficas como a cartografia, por exemplo.
  Com um sistema de coordenadas cartesianas em um plano  possvel localizar pontos desse plano tendo como referncia abscissas e ordenadas estabelecidas em dois eixos perpendiculares.

<F->
                y
               l
             3r
               l                
             2r             
               l                
             1r                              
               l                
:::g:::g:::g::::::g:::g:::g::> x
  -3 -2 -1  l0 1  2  3 
               l
            -1r
               l
            -2r
               l
            -3r
               l
<F+>

  Ren Descartes faleceu em 1650, na cidade de Estocolmo, Sucia.

<278>
<P>
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Uma campanha de vacinao durou trs semanas. Consulte as informaes apresentadas no grfico de setores e responda:

<F->
_`[{grfico adaptado_`]
1 semana -- 1.512 crianas -- 54%
2 semana -- 25%
3 semana -- '''
No vacinadas -- '''
<F+>

 a) Quantas crianas foram vacinadas na 2 semana?
 b) Se 186 crianas ficaram sem ser vacinadas, quantas crianas foram vacinadas na 3 semana dessa campanha?

 2. Resolva a inequao a seguir em _z:
<P>
 ?-3t-4*~2-?1+t*~5o=?7t-
  -1*~4.

 3. Na equao `(2a-y`)`(2a+y`)-
  -4`(ay+#,d`)=y`(2-y`), *y* representa a incgnita e *a*, um nmero real diferente de #,b. Qual  a raiz dessa equao?

 4. Considere a equao p-2r=6 e responda:
 a) Apresente trs solues dessa equao.
 b) Represente geometricamente todas as solues dessa equao.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 5. Dos pares ordenados a seguir anote apenas aqueles que pertencem ao eixo das ordenadas:
 a) `(-3,#j`)
 b) `(0,-1`)
 c) `(0,#,g`)
 d) `(-1,#j`)  

 6. Nesta figura, a reta *r*  paralela a ^c?{b{c*. Qual  a medida do ngulo :?{a{c{p*, externo ao tringulo {a{b{c?

<F->
  ^
    ^ A
105} _         r
      _ ^     ^
      _   ^ ^  P^
      _    ^    o
      _  ^   ^^
108} _^     ^ C 
     _     ^  
   ^ _   ^
 ^   _ ^
    B_^
<F+>

 7. Na equao, *x* representa um nmero real:

 2~?1-x*-3~?1+x*-1=?x2-
  -5*~?1-x2*

 a) Quais so os valores que no podem ser atribudos a *x*?
 b) Qual  a raiz dessa equao?

 8. Nesta figura _`[no adaptada_`], os segmentos de reta ^c?{c{d*, ^c?{d{e* e ^c?{e{f* so congruentes e {a{b{c{d  um retngulo. Qual  o permetro aproximado de {a{b{c{d, considerando duas ordens decimais?

 Medidas indicadas em centmetros.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 9. Em um treino, um ciclista realizou um percurso circular em 3 horas. Na primeira hora ele fez #:e do percurso e, na segunda hora, #,d do percurso restante. Se ele percorreu 14.700 m na terceira hora, quantos quilmetros mede aproximadamente o dimetro do percurso que ele realizou?
 10. Qual  o valor da expresso numrica -33.`[1,2555...-
  -9.`(0,888...`)2`]?

 11. Determine os pares ordenados `(x,y`) que so solues dos sistemas de equaes a seguir em _r. Escolha o mtodo que quiser.
 a) -3x=y e 2x+4y=-15
 b) 5x-y=7 e 2x-y=-8
 c) 3y-2x=-4 e -5x+2y=1

 12. Uma conta de R$180,00 foi paga com notas de R$20,00 e R$5,00, totalizando 24 notas. Quantas notas de cada tipo foram usadas?

 13. No retngulo {a{b{c{d, o comprimento tem 3 unidades a mais que a largura. Represente o permetro desse retngulo pela letra *y* e:
 a) escreva uma equao do 1 grau, com as variveis *x* e *y*, que represente o permetro desse retngulo;
 b) apresente trs solues dessa equao.
<P>
<F->
A             D
!:::::::::::::::
l               _
l               _
l               _
h:::::::::::::::j
B comprimento C
<F+>

<279>
 14. Qual  o polgono convexo no qual a soma dos ngulos internos  o dobro da soma dos ngulos externos?

 15. Determine os pares ordenados `(m,n`) que so solues dos sistemas de equaes em _r:
 a) -3m+4n+2m-n+1=-4m+4n+m e 5m-3`(m+n`)=-`(6m-2n`)+n
 b) m-3n=0 e ?m-4*~3-
  -n~2=-2 

 16. Se Paulo gastar #;c do que ganha mais R$268,00, ele ainda ficar com 20% do seu salrio. Qual  o salrio de Paulo?
 17. Uma circunferncia tem 20 m de dimetro. Qual  o comprimento aproximado de um arco dessa circunferncia correspondente a um ngulo central de 60?

 18. (Saresp) A soma das mesadas de Marta e Joo  R$200,00. No ms passado, Marta gastou R$70,00 e Joo gastou R$40,00 e, ao final do ms, estavam com as mesmas quantias. A mesada de Marta :
 a) R$115,00 
 b) R$120,00 
 c) R$135,00
 d) R$152,00

 19. (Saresp) Ao lanar dois dados de cores diferentes, o nmero total de resultados possveis :
 a) 6 
 b) 12 
 c) 18 
 d) 36

 20. Os valores reais que no podem ser atribudos a *x* na 
<P>
  equao ?2-x*~4-3~?9-
  -x2*-8=?x-1*~2 so:
 a) 2 e 1. 
 b) 2 e 3. 
 c) -3 e 3.
 d) -3, 2, 1 e 3.

 21. (UF-PE) Se o numerador de uma frao  acrescido de uma unidade, o valor da frao resultante  #;c. Se ambos, numerador e denominador, so acrescidos de 5 unidades, o valor da frao resultante  #=aj. Indique o produto do numerador pelo denominador da frao original.
 a) 64 
 b) 65 
 c) 125
 d) 135

 22. Nesta figura, m  um ngulo externo adjacente a *c*. 
<P>
<F->
        A
        ie
       i  e 
      i73e
     i      e
    i        e
   i          e  
  i            e
 i55        c e m
i::::::::::::::::e:::::
B              C
<F+>

  correto afirmar que: 
 a) m=73+c
 b) m=55+c
 c) m=73+55
 d) m=180+c

 23. Nesta figura, *m*  #;c de *n*. Podemos afirmar que os valores de *n* e de *m*, nessa ordem, so:
<P>
<F->
                e                      
                 e                                         
                  e                     
                  ieN
                 in e
               i     e
             i        e  
           i           e
         i              e
 115 i               m e 
  ::::j:::::::::::::::::::h::::  
      P                M e
                            e
<F+>

 a) 66 e 44.
 b) 69 e 46.
 c) 60 e 40.
 d) 63 e 42.

 24. (Saresp) Joo est treinando para uma corrida. Seu instrutor solicitou que fizesse um treino seguindo a srie:
  30 s de trote rpido;
  10 min de trote moderado;
  5 min de caminhada.
<P>
 Esta srie deveria ser repetida 7 vezes. Quanto tempo Joo treinou?
 a) 15 min e 30 s. 
 b) 40 min e 10 s. 
 c) 1 h, 48 min e 30 s.
 d) 2 h e 20 min.

 25. Considerando o sistema 3p-t=10 e -p+2t=-5, o valor de 2p-4t :
 a) -10 
 b) -14 
 c) 14
 d) 10

 26. (PUC-SP) Um certo nmero de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraram-se da sala 15 moas, ficando o nmero de rapazes igual ao dobro do nmero de moas. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual nmero de moas e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era:
<P>
 a) 96 
 b) 98 
 c) 108
 d) 116
 e) 128

 27. (Saresp) A tabela mostra a distribuio dos alunos dos 3 turnos de uma escola, de acordo com o sexo.
<R->

<R+>
_`[{tabela adaptda em trs colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: turnos
 2 coluna: meninas
 3 coluna: meninos

<F->
+:::::::::::::::::::::::::::::
l 1 turno _ 135    _ 120    _
r:::::::::::w:::::::::w:::::::::w
l 2 turno _ 120    _ 115    _
r:::::::::::w:::::::::w:::::::::w
l 3 turno _ 105    _ 125    _
h:::::::::::j:::::::::j:::::::::j
<F+>
<P>
  correto afirmar que:
 a) todos os turnos tm o mesmo nmero de alunos.
 b) a escola tem um total de 360 alunos.
 c) o nmero de meninas  maior que o de meninos.
 d) o 3 turno tem 230 alunos.
<R->

               oooooooooooo

<280>
<P>
 Unidade 11

 Tringulos e quadrilteros

<R+>
_`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: Ponte Estaiada Octavio Frias de Oliveira. 
<R->

  Por ser uma figura rgida, o tringulo est presente na estrutura metlica das construes de maneira geral, proporcionando-lhes firmeza.  o caso, por exemplo, da ponte dessa fotografia.

<281>
<R+>
_`[{figuras adaptadas e a conversa de duas crianas; contedo a seguir_`]
 Quatro figuras formadas pelas sete peas do tangram. A menina diz: "Que legal, Joo! Um homem correndo, um gato, um pssaro..."; Joo diz: "Eles so formados por polgonos!".
<R->

  Estas figuras foram produzidas compondo, sem sobreposio, as sete peas do tangram, como se pode observar em uma delas. Note que cinco dessas peas so triangulares, uma  quadrada e a outra tem a forma de um paralelogramo.

<R+>
_`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: Tringulos, quadrados e retngulos so muito utilizados por artistas na produo de suas obras de arte.
<R->

  Os tringulos e os quadrilteros so os polgonos mais utilizados tanto como base para estudo de outras figuras geomtricas quanto em nosso dia a dia.
  Nesta unidade vamos aprofundar nosso conhecimento sobre os tringulos e os quadrilteros.
<R+>
  Conte algo de que voc se lembra sobre os tringulos.
  Um quadrado  uma figura simtrica. Explique o que isso significa.
<R->
<P>
 1 -- Construo de tringulos

<R+>
_`[{conversa da professora com dois alunos; contedo a seguir_`]
 A professora diz: "Vamos desenhar tringulos..."; o menino diz: "...mas isso  fcil!"; a menina diz: "E eu j sei fazer."; a professora diz: "Mas desta vez vamos resolver problemas geomtricos... ...usando apenas rgua e compasso!".
<R->

  Providencie uma rgua e um compasso e procure resolver o problema a seguir.
 
<R+>
 wr
  Escolha trs dos segmentos de reta a seguir e construa um tringulo. Faa todas as combinaes possveis.

<F->
R                   S
o:::::::::::::::::::o
<P>
P                             X
o:::::::::::::::::::::::::::::o

L              M
o::::::::::::::o

T     U
o:::::o
<F+>

 Quantos tringulos voc desenhou?
   possvel construir um tringulo com trs quaisquer desses segmentos de reta?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Escolhendo ^c?{l{m*, ^c?{r{s* e ^c?{t{u*, por exemplo, construmos um tringulo com lados de medidas iguais  desses segmentos de reta, usando apenas rgua e compasso, da seguinte forma:
<R+>
  verificamos se a medida do maior segmento de reta  menor que a soma das medidas dos 
<P>
  outros dois: med ^c?{r{s*  med ^c?{l{m* + med ^c?{t{u*; 
  traamos uma reta qualquer e, com o compasso, marcamos um segmento de reta ^c?{a{b* congruente a um dos segmentos de reta dados, por exemplo, ^c?{l{m*; 
  com abertura do compasso igual a ^c?{r{s* e ponta-seca em A, traamos um arco. Fazemos o mesmo em B com abertura do compasso igual a ^c?{t{u*.
<R->
<283>
  O ponto de cruzamento dos dois arcos  o terceiro vrtice do tringulo.
  Note que no  possvel construir um tringulo escolhendo os segmentos de reta ^c?{p{x*, ^c?{l{m* e ^c?{t{u*.
  Isso ocorre porque a medida do segmento de reta ^c?{p{x*  maior que a soma das medidas dos segmentos de reta ^c?{t{u* e ^c?{l{m*.
  Veja outros exemplos nos quais no  possvel construir um tringulo:

<R+>
<F->
M                             N
o:::::::::::::::::::::::::::::o

A      B
o::::::o

C              D
o::::::::::::::o

E              F
o::::::::::::::o
<F+>

 1) ^c?{m{n*, ^c?{a{b*, ^c?{c{d*
 med ^c?{m{n* o med ^c?{a{b* + med ^c?{c{d* 

 2) ^c?{m{n*, ^c?{c{d* e ^c?{e{f*
 med ^c?{m{n* = med ^c?{c{d* + med ^c?{e{f*

 Em todo tringulo a medida de um lado deve ser sempre menor que a soma das medidas dos outros dois, ou, ainda, a medida do maior lado  sempre menor que a soma das medidas dos outros dois.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades 1 e 2, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
 1. Usando rgua e compasso, desenhe trs tringulos diferentes, de modo que dois de seus lados sejam congruentes a ^c?{a{b* e ^c?{c{d*.

<F->
A                             B
o:::::::::::::::::::::::::::::o

C                D
o::::::::::::::::o
<F+>

 2. Entre as situaes a seguir, em quais no  possvel traar um tringulo com lados que tenham as medidas dadas?
<P>
 a) 4,7 cm; 6,8 cm; 5,0 cm.
 b) 6,8 cm; 2,5 cm; 3,0 cm.
 c) 8,0 cm; 4,6 cm; 3,4 cm.
 d) 10,0 cm; 12,5 cm; 13,8 cm.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<284>
 2 -- Tringulos e propriedades

  Os tringulos so importantes na explorao de propriedades das demais figuras geomtricas e tambm em diversas aplicaes prticas, como, por exemplo, no clculo de distncias, na construo civil e na Astronomia. Vamos conhec-los um pouco mais.
  Nesta figura, :?{m{f{g*  um ngulo externo adjacente a um dos ngulos do tringulo {f{g{h.
<P>
<F->
 e
   e
     oM
       e
         eF
       x e
           e
             e
               e   
                 e
                   e
                     e
   72            34e
 -----------------------o    
 G                     H
<F+>

  Entre os ngulos do tringulo {f{g{h, quais so no adjacentes a :?{m{f{g*?

<R+>
 wr
  Qual  o valor de *x*?
  Relacione *x* com as medidas dos ngulos do tringulo, no adjacentes a ele.
<R->
<P>
  No tringulo {a{b{c, *a*, *b*, *c* e *x* representam medidas em graus.

<F->
         A
         
         a
           
               
             
              
               
   b          c  x
 ----------------o------ 
 B              C   
<F+>

_`[{a professora diz_`]
  "Procure demonstrar essa propriedade."

<R+>
 :x  o ngulo externo no adjacente aos ngulos :A e :B.
 *x*  igual  soma de *a* com *b*.
<R->

  Podemos demonstrar algebricamente a propriedade citada observando a figura dada na situao:

<R+>
 a+b+c=180 -- Soma das medidas dos ngulos internos do tringulo {a{b{c.
 c+x=180 -- :c e :x so ngulos adjacentes suplementares.

 c+x=a+b+c 
 x=a+b+c-c 
 x=a+b

 Em todo tringulo, a medida de qualquer ngulo externo  igual  soma das medidas dos dois ngulos internos, no adjacentes a ele.
<R->

<285>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 3. Qual  o valor de *a* na figura?
<P>
<F->
              a
                a
            60  a
                    a  
                      a
                        a
                          a
     a                  40a
------------------------------o     
<F+>

 4. Nesta figura, *x*, *y* e *z* representam medidas em graus. Que relao existe entre essas medidas?

<F->
                ^
             ^
           ^z
         ^a
       ^    a
     ^        a
   ^            a
 ^x              ya
--------------------o
<F+>

 5. Determine o valor de *x* em cada situao:
<P>
<F->
a)            ^
             ^
         A^x
         ^a
       ^    a
     ^        a
   ^            a
 ^47        32a
--------------------o
B                  C   

b)  P
     
     le
     l e
     l  e
     l   e
     l25e
     l     e
     l      e
     l       e
     v--------oN
     M       xe
                e
                 e
                  e

c)     a
          a
      54  a
              a  
                a
                  a
                    a
  x                   a136
------------------------o------- 
<F+>

 Problema resolvido

 6. Determine a medida do ngulo obtuso do tringulo {m{n{p.

<F->
M
a
 ? a
  ? x e.
   ?    e.  
    ?     e. 
     ?      e.
      ?       e.
       ?        e.
        ?2x+20 e.155
         ?----------o------
         N        P
<F+>

 155  a medida do ngulo externo, no adjacente aos ngulos :M e :N, portanto:
 2x+20+x=155
 3x=155-20
 3x=135 
 x=135~3 
 x=45

 med :N=2x+20=2.45+20=
  =90+20
 med :N=110

 Resposta: O ngulo obtuso do tringulo {m{n{p mede 110.

 7. Observe estas figuras e calcule o valor de *x*:

_`[{figuras adaptadas_`]
 a) tringulo {x{y{z
 ngulo X=x; ngulo externo Y=120; ngulo Z=5x
 b) tringulo {a{b{c
 ngulo A=90; ngulo B=x; ngulo externo C=3x+15
<P>
 c) tringulo {c{d{f
 ngulo C=x-40; ngulo D=?2x~3*-60; ngulo externo F=?x~4*+70
<R->

<286> 
 Mediana de um tringulo

  No tringulo {a{b{c a seguir _`[no adaptado_`]:

<R+>
 M --  o ponto mdio de ^c?{b{c* -- med ^c?{b{m* = med ^c?{m{c*.
 ^c?{a{m* --  a mediana relativa ao lado ^c?{b{c*.
<R->

  ^c?{a{m*  um segmento de reta com uma extremidade no vrtice A e outra no ponto mdio de ^c?{b{c*, que  o lado oposto a A.
  Como um tringulo tem trs lados, existem trs medianas, cada uma relativa a um dos lados desse tringulo.
<P>
 Baricentro

<R+>
 wr
  Desenhe em seu caderno um tringulo qualquer e trace suas trs medianas. Faa o mesmo com outros dois tringulos.

 O que podemos concluir sobre as medianas de um tringulo?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

  No tringulo {a{b{c, as trs medianas encontram-se em um nico ponto:

_`[{figura no adaptada_`]

<R+>
 ^c?{a{m*: Mediana relativa ao lado ^c?{b{c*.
 ^c?{b{n*: Mediana relativa ao lado ^c?{a{c*.
 ^c?{c{q*: Mediana relativa ao lado ^c?{a{b*.
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "P  ponto comum s trs medianas."

  Isso ocorre em qualquer outro tringulo.

<R+>
 As medianas de um tringulo qualquer tm um ponto comum que chamamos de baricentro. Na figura anterior, P  o baricentro do tringulo {a{b{c.
<R->

 Altura de um tringulo

  No tringulo {a{b{c a seguir, ~:,?{a{h* e ~:,?{b{c* so retas perpendiculares.
<P>
<F->
         A
         
         l
         l 
         l     
         l   
         l    
     !:::w     
     l_- l      
 ----v---v-------    
 B      H      C
<F+>

<R+>
 H --  o ponto de interseco das perpendiculares ~:,?{a{h* e ~:,?{b{c*.
 :H --  um ngulo reto.
 ^c?{a{h* --  um segmento de reta com uma extremidade no vrtice A e outra na interseco das retas perpendiculares ~:,?{a{h* e ~:,?{b{c*. 
<R->

  ^c?{a{h*  a altura relativa ao lado ^c?{b{c*.

<287>
<P>
 Ortocentro

<R+>
 wr 
  Desenhe em seu caderno um tringulo qualquer e trace a altura relativa a cada um de seus lados. Quantas alturas tem um tringulo?
  O que ocorre com as alturas desse tringulo?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Todo tringulo tem trs alturas, cada uma relativa a um dos lados do tringulo.

_`[{figura no adaptada_`]

<R+>
 ^c?{a{h* -- Altura relativa ao lado ^c?{b{c*.
 ^c?{b{q* -- Altura relativa ao lado ^c?{a{c*.
 ^c?{c{p* -- Altura relativa ao lado ^c?{a{b*.

 As trs alturas de um tringulo qualquer tm um ponto comum que chamamos de ortocentro. Na figura anterior, O  o ortocentro do tringulo {a{b{c.
<R->

 Bissetriz de um tringulo

  No tringulo {a{b{c a seguir:

<F->
         A
         
         l
         l 
         l     
         l   
         l    
         l     
         l      
 --------v-------   
 B       R     C
<F+>

<R+>
 :,?{a{r* --  a bissetriz do ngulo A. med :?{b{a{r* = med :?{r{a{c*.
<P>
 R --  a interseco da bissetriz do ngulo A com o lado ^c?{b{c*.
 ^c?{a{r* --  um segmento de reta com uma extremidade no vrtice A e outra na interseco da bissetriz do ngulo A com o lado ^c?{b{c*, oposto a A. ^c?{a{r*  bissetriz do tringulo {a{b{c relativa ao ngulo A.
<R->

 Incentro

<R+>
 wr
  Desenhe em seu caderno um tringulo qualquer e trace a bissetriz de cada um de seus ngulos. O que ocorre com as bissetrizes desse tringulo?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
  Todo tringulo tem trs bissetrizes, cada uma relativa a um dos ngulos do tringulo.
  No tringulo {a{b{c:

<R+>
 ^c?{a{r* -- bissetriz relativa ao ngulo A.
 ^c?{b{q* -- bissetriz relativa ao ngulo B.
 ^c?{c{n* -- bissetriz relativa ao ngulo C.

 As trs bissetrizes de um tringulo qualquer tm um ponto comum que chamamos de incentro. Na figura _`[no adaptada_`], I  o incentro do tringulo {a{b{c.
<R->

<288>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 8. Desenhe trs tringulos como este:
<P>
<F->
            U                    
            ie 
           i  e
         i     e
       i        e  
     i           e
   i              e
 i                 e 
j:::::::::::::::::::h 
M                 E
<F+>

 a) Em um deles, trace as trs medianas. Que nome damos ao ponto comum s trs medianas?
 b) No outro tringulo, trace as trs alturas. Que nome damos ao ponto comum s trs alturas?
 c) No terceiro tringulo, determine o incentro usando rgua e compasso. O que  o incentro desse tringulo?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 9. Dois ngulos do tringulo {p{q{r medem 59 e 46 e ^c?{q{a*  a altura relativa a ^c?{p{r*.

<F->
            Q                    
            ie 
           i_ e
         i  _  e
       i    _   e  
     i      _    e
   i    !:::w     e
 i      l_- _      e 
j:::::::h:::j:::::::h 
P         A      R
<F+>

 ngulo P=59; ngulo R=46

 a) Qual  a medida do ngulo {p{q{a?
 b) Qual  a medida do ngulo {a{q{r?

 10. No tringulo {m{t{v, ^c?{m{h*  a altura relativa ao lado ^c?{t{v*. As letras *x* e *y* representam as medidas dos ngulos :T e :V, respectivamente. Quais so essas medidas?

<F->
         M
         e
        l  e
        l48e
        l      e
        l        e
    24l          e
        l            e
  x     l            y e
 -------#---------------e    
 T     H              V
<F+>

 ngulo T=x
 ngulo V=y
 ngulo ?{t{m{h*=24
 ngulo ?{v{m{h*=48

 11. Em um tringulo retngulo, a altura relativa  hipotenusa forma com um dos catetos um ngulo de 36. Quais so as medidas dos ngulos agudos desse tringulo?
<P>
 Faa um desenho em seu caderno e anote os dados nele.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 12. O ngulo T do tringulo {p{m{t mede 78. ^c?{t{b*  a bissetriz relativa ao ngulo {p{t{m.

<F->
              T                    
              ie 
             ii e
           i i x e
         i  i     e  
       i   i       e
     i    i         e
   i     i68       e 
 j::::::j:::::::::::::h
M     B            P
<F+>

 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Quais so as medidas dos outros ngulos desse tringulo?
<R->

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 Problema resolvido

 13. No tringulo {a{b{c _`[no adaptado_`], ^c?{b{m*  bissetriz de :?{a{b{c*.

 ngulo A=2x+16
 ngulo C=x
 ngulo ?{m{b{c*=?3x~4*+10

 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Qual  a medida de cada ngulo desse tringulo?

 Comeamos calculando o valor de *x*:
 tringulo {a{b{c: ^c?{b{m*  bissetriz -- med :B=2.
  .`(?3x~4*+10`)=2.?3x~4*+
  +2.10=?3x~2*+20 
 tringulo {a{b{c: a soma das medidas dos ngulos internos  180 -- med :A + med :B + med :C=180
 2x+16+?3x~2*+20+x=180

 med :{a -- 2x+16
 med :{b -- ?3x~2*+20
 med :{c -- x
<R->

<289>
<R+>
 Resolvemos a equao obtida:

 2x+16+?3x~2*+20+x=180
 ?2.2x+2.16+3x+2.20+2.
  .x*~2=?2.#ahj*~2
 2.?4x+32+3x+40+2x*~2=
  =?360~2*.2
 4x+32+3x+40+2x=360
 9x+72=360
 9x=360-72
 9x~9=288~9
 x=32
 med :C=32
 
 Em seguida, calculamos as medidas dos outros ngulos do tringulo {a{b{c:
<P>
 med :A=2x+16=2.32+16=
  =64+16=80 
 med :A=80

 med :B=?3x~2*+20=48+20
 med :B=68 

 Respostas: O valor de *x*  32 e as medidas dos ngulos do tringulo so med :A=80, med :B=68 e med :C=32.

 14. No tringulo {p{r{s, ^c?{r{b*  uma das bissetrizes e *y* representa uma medida em graus.

<F->
              R                    
              ie 
             ii e
           i i   e
         i  i     e  
       i   i       e
     i    i         e
   i     i y         e 
 j::::::j:::::::::::::h 
 S    B            P
<F+>

 ngulo P=63
 ngulo S=47
 ngulo ?{r{b{p*=y

 a) Qual  a medida de :?{p{r{s*?
 b) Qual  o valor de med :?{p{r{b*?
 c) Qual  o valor de *y*?

_`[{para as atividades 15 e 16, pea orientao ao professor_`]

 15. No tringulo retngulo {r{t{b _`[no adaptado_`], ^c?{r{h*  a altura relativa  hipotenusa e o ngulo B mede 38. Determine a medida do ngulo que ^c?{r{h* forma com o cateto ^c?{r{t*.
 16. No tringulo {f{e{l _`[no adaptado_`] os ngulos :E e :L medem 64 e 42, respectivamente. ^c?{f{h*  a altura relativa ao lado ^c?{e{l* e :,?{f{s*  a bissetriz do ngulo F. Qual  a medida do ngulo {h{f{s formado por essa altura e por essa bissetriz?

 Desenhe no caderno um tringulo e assinale os dados nele.
<R->

 Seo + (mais)

 Tringulos e quadrilteros

  No quadriltero {a{b{c{d _`[no adaptado_`], :?{b{a{d* e :?{a{d{c* so ngulos congruentes.
  Qual  o valor de 3`(m+n`)?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<290>
 3 -- Tringulos: movimentos e 
  congruncia

  O tringulo  uma figura geomtrica importante. Sendo assim,
<P>
 vamos conhecer outras de suas propriedades.

<R+>
_`[{duas fotos seguidas por legenda_`]
 Legenda 1: A rigidez proporcionada pelos tringulos  utilizada na sustentao das estruturas em construes de um modo geral.
 Legenda 2: Qualquer polgono com mais de trs lados decompe-se em tringulos. Este heptgono, por exemplo, foi decomposto em cinco tringulos a partir de um de seus vrtices.
<R->

  Mrcio notou que dois tringulos desenhados em uma folha eram muito parecidos.
  Para conferir, copiou o tringulo {a{b{c em um papel de seda e o sobreps ao tringulo {p{m{n: os vrtices de um coincidiram com os vrtices do outro.
<P>
<R+>
 wr
  O que se pode afirmar sobre os lados do tringulo {a{b{c e do tringulo {p{m{n? E sobre os ngulos?
<R->

<F->
        A                    
        ie 
       i  e
     i     e
   i        e  
 i           e
j:::::::::::::h 
B           C

        P                    
        ie 
       i  e
     i     e
   i        e  
 i           e
j:::::::::::::h 
M           N
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
  Ao realizar essa tarefa, Mrcio fez um ou mais movimentos sobre o tringulo {a{b{c e que j conhecemos: translao, reflexo e rotao.
  Sobrepondo a cpia do tringulo {a{b{c ao tringulo {p{m{n,  possvel verificar que os tringulos no s so parecidos como tambm tm o mesmo tamanho: as medidas dos lados e dos ngulos de um deles tm, respectivamente, as mesmas medidas dos lados e dos ngulos do outro.
<291>
  Nesse caso, dizemos que tringulo {a{b{c e tringulo {p{m{n so congruentes.
  Indicamos: tringulo {a{b{c == tringulo {p{m{n.

<R+>
 Os elementos congruentes so marcados com o mesmo nmero de traos _`[no livro, no sistema comum de escrita_`].
<P>
 lados: ^c?{a{b*==^c?{p{m*; ^c?{b{c*==^c?{m{n*; ^c?{c{a*==^c?{n{p*
 ngulos: :A==:P; :B==:M; :C==:N
 ento tringulo {a{b{c == tringulo {p{m{n

 Dois tringulos so congruentes quando os lados e os ngulos de um deles so respectivamente congruentes aos lados e aos ngulos do outro.
<R->

 Casos de congruncia entre 
  tringulos

  Na prtica, no  preciso verificar as seis congruncias para se certificar de que dois tringulos so congruentes. Bastam apenas trs delas, desde que uma envolva um dos lados; so os chamados casos de congruncia de tringulos.
  Para conhec-los, analise e resolva a situao a seguir.
  Construa em seu caderno um tringulo cujos lados sejam congruentes aos segmentos de reta a seguir:

 Use apenas rgua e compasso.

<F->
A        B
o::::::::o

C              D
o::::::::::::::o

E                     F
o:::::::::::::::::::::o
<F+>

<R+>
 wr
  Compare o tringulo que voc obteve com os obtidos por dois de seus colegas. O que se pode concluir?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Os tringulos a seguir _`[no adaptados_`] foram construdos com 
<P>
 os segmentos de reta dados na situao anterior:

<R+>
 Esses tringulos _`[no adaptados_`] tm lados respectivamente congruentes.
<R->

<292>
  Comparando-os, conclumos que eles tm, tambm, os ngulos respectivamente congruentes:

<R+>
 :M==:S; :I==:O; :R==:L.
 :M==:T; :A==:N; :R==:P.
 :S==:T; :O==:N; :L==:P.
<R->

  Ou seja, tringulo {m{i{r, tringulo {s{o{l e tringulo {t{n{p possuem lados e ngulos respectivamente congruentes. Esses tringulos so congruentes.

<R+>
 1 caso de congruncia de tringulos
 Dois tringulos que tm os trs 
<P>
  lados respectivamente congruentes so tringulos congruentes.
 lado -- lado -- lado; {l{l{l.
 Use rgua, compasso e transferidor.
<R->

  Desenhe em seu caderno um tringulo com:
<R+>
 a) um dos lados congruentes ao segmento de reta {a{b;
 b) um dos ngulos congruentes a :D e com vrtice em uma das extremidades do lado j construdo;
 c) outro ngulo congruente a :G e com vrtice na outra extremidade do lado j construdo.
<R->

<F->
A              B
o::::::::::::::o

<P> 
             i
           i         
         i  
       i  
     i 45
D j::::::::::: 

          
         
        
      
     
   60  
G----------
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
 wr
  Compare o tringulo que voc obteve com os de dois de seus 
<P>
  colegas. O que se pode concluir?
<R->

  Observe estas duas construes:

Primeira construo

  Iniciamos traando a reta *m* e marcando um segmento de reta {p{r, congruente a ^c?{a{b*.

_`[{o menino diz_`]
  "Com vrtice em P desenhamos um ngulo congruente a :D... ...e, com vrtice em R, um ngulo congruente a :G."

  Tringulo {p{r{s  uma soluo do problema apresentado.

<293>
 Segunda construo

  Iniciamos traando um ngulo M congruente a :G.

_`[{a menina diz_`]
  "A partir do vrtice M marca-
<P>
 mos um segmento de reta {m{l congruente a ^c?{a{b*. E com vrtice em L desenhamos um ngulo congruente a :D."

  Tringulo {l{m{x  uma soluo do problema apresentado.
  Comparando as duas solues, verificamos que os dois tringulos desenhados so congruentes. Eles esto, apenas, em posies diferentes.
  Portanto:
 
<R+>
 Como consequncia:

 :P==:L; ^c?{p{r*==^c?{l{m*; :R==:M. -- {a{l{a
 :S:X; ^c?{p{s*==^c?{l{x*; ^c?{r{s*==^c?{m{x*
 tringulo {p{r{s == tringulo {l{m{x

 2 caso de congruncia de tringulos
 Dois tringulos que tm um lado e os ngulos adjacentes a esse la-
<P>
  do respectivamente congruentes so tringulos congruentes.

 ngulo -- lado -- ngulo; {a{l{a.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 17. Explique, com suas palavras, o significado da frase: O tringulo {a{b{c  congruente ao tringulo {p{m{n.

_`[{para as atividades de 18 a 21, pea orientao ao professor_`]

 18. Os tringulos a seguir _`[no adaptados_`], tm os lados respectivamente congruentes. O que podemos afirmar sobre esses tringulos? Justifique sua resposta.
<P>
 ^c?{a{b*==^c?{x{y*
 ^c?{b{c*==^c?{y{z*
 ^c?{c{a*==^c?{z{x*

 19. Observe esta figura _`[no adaptada_`].
 a) O que podemos afirmar sobre ^c?{a{c* e ^c?{l{m*? E sobre os ngulos :A e :L, :C e :M?
 b) Se completarmos o desenho traando os tringulos, obteremos tringulos simtricos em relao a *e*?
 c) Em relao  congruncia o que podemos afirmar sobre esses tringulos?

<294>
 20. Os pares de tringulos _`[no adaptados_`] a seguir so congruentes. Em cada caso, identifique os elementos congruentes:
 21. Estes pares de tringulos _`[no adaptados_`] so congruentes. Identifique os casos de congruncia: 

 Medidas indicadas em cm.
<R->
<P>
 Troque ideias e resolva

  Dois tringulos tm ngulos respectivamente congruentes.
<R+>
  Eles so necessariamente congruentes? Apresente exemplos desenhando tringulos em seu caderno.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Outros casos de congruncia de 
  tringulos

  Faa em uma folha de papel quadriculado um desenho como este _`[no adaptado_`].
  Em seguida, complete-o desenhando o simtrico dela em relao ao eixo *m*.

_`[{o menino diz_`]
  "Os ngulos :?{a{o{b* e :?{m{p{r* so congruentes."

<R+>
 wr
  Complete sua figura desenhando os tringulos {a{o{b e {r{p{m. Eles so tringulos congruentes?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Se completarmos essas figuras desenhando os tringulos {a{o{b e {m{p{r, obteremos tringulos congruentes, pois eles so simtricos em relao ao eixo *m*.

_`[{figuras no adaptadas_`]

_`[{o menino diz_`]
  "... ^c?{b{o*==^c?{r{p* -- lado `(L`)."

_`[{a menina diz_`]
   "^c?{a{o*==^c?{m{p* -- lado `(L`); :O==:P -- ngulo `(A`)..."
<P>
_`[{o menino diz_`]
   " o caso {l{a{l."

<295>
<R+>
 3 caso de congruncia de tringulos
 Dois tringulos que tm dois lados e o ngulo compreendido por esses lados respectivamente congruentes so tringulos congruentes.

 lado -- ngulo -- lado: {l{a{l
<R->

  Nos tringulos {a{b{c e {m{n{p, ^c?{b{c*==^c?{p{n*, :A==:M e :C==:N.

_`[{a menina diz_`]
  "Tringulo {a{b{c e tringulo {m{p{n so congruentes?"
<P>
<F->
         A                
         e
           e
        65 e
               e   
                 e
                   e
                     e
                  45e
 -----------------------o    
 B                     C

         M                    
         e
           e
        65 e
               e   
                 e
                   e
                     e
                  45e
 -----------------------o    
 P                     N
<F+>

<R+>
 wr
  O que podemos afirmar sobre :B e :P?
<R->

  Podemos imaginar uma translao e uma rotao sobre o tringulo {a{b{c de modo que, no final, a imagem obtida do tringulo {a{b{c coincida com o tringulo {m{p{n, ou seja, os tringulos {a{b{c e {m{n{p so congruentes.
  Nesse caso, podemos tambm demonstrar que tringulo {a{b{c == tringulo {m{n{p:

<R+>
 No tringulo {a{b{c: med :B=180-`(65+45`) -- med :B=70
 No tringulo {m{p{n: med :P=180-`(65+45`) -- med :P=70
<R->
 med :B = med :P
 :B==:P

<R+>
 :B==:P; ^c?{b{c*==^c?{p{n*; :C==:N. -- {a{l{a
 Tringulo {a{b{c == tringulo {m{p{n
<R->
<P>
  Do mesmo modo, pode ser demonstrado para dois tringulos quaisquer.

<R+>
 4 caso de congruncia de tringulos
 Dois tringulos que tm um lado, um ngulo e o ngulo oposto a esse lado respectivamente congruentes so tringulos congruentes.

 lado -- ngulo -- ngulo oposto: {l{a{ao.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades de 22 a 26, pea orientao ao professor_`]

 22. Desenhe trs tringulos com dois de seus lados respectivamente congruentes aos segmentos de reta ^c?{r{s* e ^c?{p{m* e com o ngulo por eles formado congruente a :O. Os tringulos que voc obteve so congruentes?

<F->
R              S
o::::::::::::::o

P                     M
o:::::::::::::::::::::o

         
        
      
     
   50  
O----------
<F+>

 Use rgua, compasso e transferidor.
<R->

<296>
<R+>
 23. Observe as marcaes da figura _`[no adaptada_`] e note que tringulo {a{b{c == tringulo {c{d{a.
<P>
 a) Entre os lados do tringulo {c{d{a, qual  congruente a ^c?{a{b*? E a ^c?{a{c*?
 b) Qual  a medida do ngulo :?{b{a{c*? E de :?{d{c{a*?
 c) Que caso permite escrever essa congruncia?

 24. Observando as marcaes 
  _`[no adaptadas_`] da figura, temos tringulo {r{m{p == tringulo {r{s{p.

<F->
         R                  
         ie 
        i_ e
       i _  e
      i  _   e  
     i   _    e
    i    _     e  
   i     _      e
  i  !:::w:::   e
 i   l_- _ _-_    e 
j::::h:::j:::j:::::h 
M       P       S 
<F+>

 a) Que caso permite concluir essa congruncia?
 b) Entre os ngulos do tringulo {r{m{p, qual  congruente a :?{r{s{p*? E a :?{s{r{p*?

 25. Entre os trs pares de tringulos congruentes _`[no adaptados_`], em qual deles se aplica o caso {l{a{aO?
 a) tringulo {r{s{t == tringulo {p{t{s
 b) tringulo {a{b{c == tringulo {d{e{c
 c) tringulo {m{n{p == tringulo {y{z{x

 26. Nas figuras a seguir _`[no adaptadas_`], os pares de tringulos so congruentes. Observe os pares de elementos congruentes assinalados e identifique o caso de congruncia. Em seguida, copie em seu caderno as sentenas substituindo a ... de modo que elas se tornem verdadeiras:
<P>
 a) tringulo {a{b{c == trin-
  gulo ...
 b) tringulo {s{l{o == trin-
  gulo ...
 c) tringulo {a{b{c == trin-
  gulo ...
 d) tringulo {x{y{m == trin-
  gulo ...

 Problema resolvido

 27. Nesta figura _`[no adaptada_`], G  ponto mdio de ^c?{a{d* e os ngulos :A e :D so congruentes. Mostre que tringulo {a{g{b e tringulo {d{g{c so tringulos congruentes.

 :A==:D `(A`)
 G  ponto mdio de ^c?{a{d*: ^c?{a{g*==^c?{d{g* `(L`)
 :?{a{g{b* e :?{d{g{c* (o.p.v.): :?{a{g{b*==:?{d{g{c* `(A`)

 Resposta: tringulo {a{g{b == tringulo {d{g{c pelo caso {a{l{a.
<297>
 _`[{para as atividades 28 e 29, pea orientao ao professor_`]

 28. Nesta figura _`[no adaptada_`], o ponto O  ponto mdio de ^c?{q{s* e de ^c?{p{r*. Nessas condies, responda:
 a) ^c?{p{o*==^c?{r{o*? Por qu?
 b) :?{q{o{p*==:?{s{o{r*? Por qu?
 c) ^c?{q{o*==^c?{s{o*? Por qu?
 d) Que caso de congruncia permite escrever tringulo {q{p{o == tringulo {s{r{o?

 29. Nesta figura, ~:,?{a{b* e ~:,?{e{d* so retas perpendiculares a ~:,?{b{d*, ^c?{a{b* e ^c?{e{d* so segmentos de reta congruentes e C  ponto mdio de ^c?{b{d*. Mostre que tringulo {a{b{c == tringulo {e{d{c.
<R->
<P>
 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

 Problema resolvido

<R+>
_`[{para as atividades de 30 a 34, pea orientao ao professor_`]

 30. Nesta figura _`[no adaptada_`], ^c?{n{p*==^c?{r{l* e :P==:L. Mostre que M  ponto mdio de ^c?{p{l*. Vamos demonstrar que ^c?{p{m*==
  ==^c?{l{m*, usando tringulo {n{p{m e tringulo {r{l{m.

 tringulo {n{p{m == tringulo {r{l{m
 ^c?{n{p*==^c?{r{l* `(L`)
 :P==:L `(A`)
 :?{p{m{n*==:?{l{m{r*  (o.p.v.) `(Ao`)
 tringulo {n{p{m == tringulo {r{l{m
<P>
 ^c?{p{m*==^c?{l{m*
 M  ponto mdio de ^c?{p{l*.

 31. Nesta figura _`[no adaptada_`], ^c?{a{b*==^c?{b{c* e :,?{b{d*  bissetriz do ngulo {a{b{c. Mostre que ^c?{a{d*==
  ==^c?{c{d*.
 32. Nesta figura _`[no adaptada_`], :?{a{b{d*  congruente a :?{b{d{c* e :?{b{d{a*  congruente a :?{d{b{c*. Se a medida de ^c?{a{b*  igual a 8 cm, mostre que med ^c?{c{d*=8 cm.
 33. Nesta figura _`[no adaptada_`], :,?{a{b*  bissetriz do ngulo A, ^c?{d{b*  perpendicular a ^c?{a{d* e ^c?{b{c*  perpendicular a ^c?{a{c*. Mostre que ^c?{d{b* e ^c?{c{b* so congruentes.
 34. Nesta figura _`[no adaptada_`], ^c?{a{b* e ^c?{d{c* so segmentos de reta congruentes.
<P>
  Mostre que os ngulos :A e :D tambm so congruentes.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<298>
 4 -- Tringulos issceles, 
  equilteros e suas propriedades

  As propriedades dos tringulos issceles e dos tringulos equilteros so muito utilizadas na demonstrao das propriedades de outras figuras geomtricas. Tambm so aplicadas na resoluo de vrias situaes-problema nas quais desejamos determinar as medidas de lados e de ngulos de figuras.
  Desenhe em seu caderno ngulos como estes e complete-os formando tringulos issceles.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
<R+>
 wr
  Quanto medem os outros ngulos em cada tringulo obtido?
  O que podemos afirmar sobre os outros dois ngulos em cada tringulo que voc desenhou?
<R->

<R+>
 Observe estas figuras _`[no adaptadas_`].
<R->

<R+>
 wr
  Desenhe em seu caderno segmentos de reta e ngulos como esses _`[no adaptados_`]. Complete cada desenho de modo que eles formem tringulos. O que podemos afirmar sobre os outros dois lados em cada tringulo que voc desenhou?
  Que tipos de tringulo voc desenhou?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<299>
<P>
  Os tringulos que so obtidos nas duas situaes so issceles. Ou seja:

<R+>
 Todos os tringulos com dois lados congruentes tm dois ngulos congruentes.
 Todos os tringulos com dois ngulos congruentes tm dois lados congruentes.
<R->

  Vamos demonstrar esses fatos.
  Consideremos um tringulo issceles {a{b{c em que os lados ^c?{a{b* e ^c?{a{c* so congruentes.
  Vamos mostrar que :B==:C.
  Ao traarmos a mediana ^c?{a{m*, relativa  base ^c?{b{c*, determinamos dois tringulos: tringulo {a{m{b e tringulo {a{m{c.

<R+>
 Vamos combinar que no tringulo {a{b{c, em que ^c?{a{b*==
  ==^c?{a{c*, ^c?{b{c*  a base e que :A  o ngulo de vrtice.
<R->
<P>
<F->
          A                  
          ie 
         i_ e
        i _  e
       i  _   e  
      i   _    e
     i    _     e   
    i     _      e  
   i      _       e :> ngulo
  j:::::::j::::::::h   da base 
  B      M      C
<F+>

  Observando esses tringulos, temos:
 
<R+>
 ^c?{a{b*==^c?{a{c*: informao dada. `(L`)
 ^c?{b{m*==^c?{c{m*: M  ponto mdio de ^c?{b{c* `(L`)
 ^c?{a{m*==^c?{a{m*: lado comum. `(L`)
 tringulo {a{m{b == tringulo {a{m{c
 :B==:C

 Os ngulos da base de todo tringulo issceles so congruentes.
<R->

  Consideremos um tringulo {a{b{c que tem dois ngulos de medidas iguais.
  Vamos mostrar que tringulo {a{b{c  issceles.
  Ao traarmos a bissetriz ^c?{a{p* do ngulo A, determinamos dois tringulos: tringulo {a{p{b e tringulo {a{p{c.
  Observando esses tringulos, temos:

<F->
         A                  
         ie 
        i_ e
       i _  e
      i  _   e  
     i   _    e
    i    _     e   
   i     _      e 
  i      _       e
 i       _        e 
j::::::::j:::::::::h
B       P       C
<F+>

<R+>
 ^c?{a{p*==^c?{a{p*: lado comum. `(L`)
<P>
 :?{b{a{p*==:?{c{a{p*: ^c?{a{p*  bissetriz. `(:A`)
 :B==:C: informao dada. `(:Ao`)
 tringulo {a{p{b == tringulo {a{p{c
 ^c?{a{b*==^c?{a{b*
 ^c?{a{b*==^c?{a{c*: tringulo {a{b{c  um tringulo issceles.

 Todo tringulo que possui dois ngulos congruentes tem dois lados congruentes, ou seja,  issceles.
<R->

<300>
  Os tringulos desenhados a seguir so equilteros.

<F->
          ecccccccccccccccci  
                         
                        
                        
                    
                   
                  
                 
--------         
<F+>                      

_`[{a menina diz_`]
  "Hum... eles tm trs lados congruentes."

_`[{o menino diz_`]
  "E os ngulos? Tambm so congruentes?"

<R+>
 Comece desenhando em uma folha de papel tringulos equilteros e, em seguida, recorte-os.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
 wr
  Para encontrar a resposta faa dobraduras.
<R->

  O tringulo {a{b{c da figura a seguir  equiltero.
<P>
<F->
      A 
      ie 
     i  e
    i    e
   i      e  
  i        e
 i          e   
j::::::::::::h 
B          C
<F+>

  Vamos mostrar que :A==
 ==:B e :A==:C, ou seja, :A==:B==:C.
  Tringulo {a{b{c equiltero: ^c?{a{c*==^c?{b{c*: tringulo {a{b{c issceles de base ^c?{a{b*.
  Tringulo {a{b{c issceles de base ^c?{a{b*: :A==:B.
  Do mesmo modo, mostramos que :A==:C.
  Portanto, :A==:B==:C.
  Note que, como os trs ngulos de um tringulo equiltero so congruentes entre si, temos:
<P>
<R+>
 A soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo  180.

 med :A + med :B + med :C=180
 med :A + med :A + med :A=180
 3 " med :A=180 
 med :A=180~3=60
<R->

  Portanto:

 med :A=60
 med :B=60
 med :C=60

<R+>
 Em qualquer tringulo equiltero os trs ngulos internos so congruentes entre si e cada um deles mede 60.
 Todo tringulo que tem os trs ngulos congruentes  equiltero.
<R->
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 35. Quando dizemos que um tringulo  issceles? E equiltero?
 36. Se {a{b{c  um tringulo issceles de base ^c?{b{c*, o que podemos afirmar sobre os ngulos :B e :C?

<301>
 37. Neste tringulo, os ngulos :M e :N so congruentes. O que se pode concluir sobre o tringulo {p{m{n?

<F->
      P 
      ie 
     i  e
    i    e
   i      e  
  i        e
 i          e   
j::::::::::::h 
M          N
<F+>
<P>
 38. Se {x{y{z  um tringulo equiltero, qual  a medida de cada um de seus ngulos?
 39. Qualquer tringulo equiltero  tambm um tringulo issceles? Por qu?
 40. O tringulo {p{q{r  issceles e as letras *b* e *c* representam as medidas dos ngulos adjacentes  base. Qual  o valor de *b*? E de *c*?

<F->
      P 
      ie 
     i  e
    i58e
   i      e  
  i        e
 ib        ce   
j::::::::::::h 
Q          R
<F+>
<P>
 41. Nesta figura, o tringulo {m{n{p  issceles e de base ^c?{m{n*.

<F->
        P
        e
         e
          e
           e   
            e
             e
              e
               e
----------------o 
M              N
<F+>

 :P=2x
 :M=?3x~2*-15

 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Quais so as medidas dos ngulos internos desse tringulo?

 42. No tringulo issceles {x{y{z, ^c?{y{z*  a base.
<P>
<F->
      X 
      ie 
     i  e
    i    e
   i      e  
  i        e
 i          e   
j::::::::::::h 
Y          Z
<F+>

 :X=3x-14
 :Y=5x+32

 *x*  uma medida em graus.

 a) Que expresso algbrica representa a medida de :Z?
 b) Que expresso algbrica representa med :X + med :Y + med :Z?
 c) Qual  o valor de *x*?
 d) Qual  a medida de cada ngulo interno do tringulo {x{y{z?

 43. O tringulo a seguir  issceles.
<P>
<F->
           A 
           ie 
          ix e
         i    e
        i      e  
       i        e
 115i        y e   
:::::j::::::::::::h 
     B          C
<F+>

 *x* e *y* representam medidas em graus.

 a) Qual  a medida do ngulo {a{b{c?
 b) Qual  o valor de *y*? E de *x*?
 c) Quais so os lados congruentes desse tringulo?
<R->

 Mediana, altura e bissetriz de um 
  tringulo issceles

  Vamos demonstrar que:

<R+>
 Em um tringulo issceles qualquer, a mediana relativa  base  tambm a altura relativa a essa base e  bissetriz do ngulo de vrtice oposto a essa base.

<F->
         A                  
         ie 
        i_ e
       i _  e
      i  _   e  
     i   _    e
    i    _     e   
   i     _      e 
  i      _       e
 i       _        e 
j::::::::j:::::::::h
B       M       C
<F+>

 Tringulo {a{b{c issceles -- base ^c?{b{c* -- ^c?{a{b*==
  ==^c?{a{c* e :B==:C
 ^c?{a{m* mediana: M  ponto mdio de ^c:{b{c*: ^c?{b{m*==^c?{c{m*

<302>
 Tringulo {a{b{m e tringulo {a{c{m
 ^c?{a{b*==^c?{a{c* `(L`)
 ^c?{b{m*==^c?{c{m* `(L`)
 ^c?{a{m*==^c?{a{m* `(L`)
 Tringulo {a{b{m == tringulo {a{c{m
 :?{a{m{b*==:?{a{m{c*
 med :?{a{m{b* + med :?{a{m{c*=
  =180
 med :?{a{m{b* + med :?{a{m{b*=
  =180
 2 " med :?{a{m{b*=180 
 med :?{a{m{b*=90
<R->
 
  med :?{a{m{b* = med :?{a{m{c* =90 -- ^c?{a{m*#.^c?{b{c* -- {a{m  altura relativa a ^c?{b{c*.
  Tringulo {a{b{m == tringulo {a{c{m -- :?{b{a{m*==:?{c{a{m* -- ^c?{a{m*  bissetriz de :?{b{a{c*.
  Tambm  possvel demonstrar que:

<R+>
 Em qualquer tringulo issceles, a altura relativa  base , tambm, a mediana relativa a essa base e a bissetriz do ngulo de vrtice.
 Em qualquer tringulo issceles, a bissetriz do ngulo de vrtice 
<P>
  , tambm, a altura e a mediana relativas  base.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 44. O tringulo {c{d{f  issceles, o ngulo de vrtice mede 48 e ^c?{c{h*  a altura relativa  base. Calcule, em graus, o valor de *x*.

<F->
         C                  
         ie 
        i_ e
       i _  e
      ix _   e  
     i   _    e
    i    _     e  
   i     _      e
  i  !:::w       e
 i   l_- _        e 
j::::h:::j:::::::::h 
D       H       F
<F+>
<P>
 45. Nesta figura, :M  um ngulo reto e tringulo {m{p{r  issceles.

<F->
          M 
          ie
        i90e
      i        e
    i            e
  i5x-10        e
i::::::::::::::::::::e
P                  R
<F+>

 a) Quais so as medidas dos ngulos :?{m{p{r* e :?{p{r{m*?
 b) Qual  o valor de *x*?

 46. O tringulo {a{b{c  retngulo e issceles. ^c?{a{h*  a altura relativa  hipotenusa e a medida de ^c?{b{c*  o dobro da medida de ^c?{a{h*. Copie em seu caderno as sentenas verdadeiras referentes a esse tringulo:
<P>
<F->
C 
,                 
le 
l  e
l    e
l      e H 
l        e
l          e  
l            e
r:::          e
l _-_            e 
h:::j:::::::::::::j
A               B
<F+>

 a) Tringulo {a{b{h  escaleno.
 b) Tringulo {a{b{h  issceles.
 c) ^c?{a{h*  bissetriz de :?{c{a{b*.
 d) med :{b=60.
 e) med :B + med :C=90.
 f) med :C=45.
<R->
<P>
 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

 Problema resolvido

<R+>
 47. Nesta figura, o tringulo {p{m{o  issceles. Qual  o valor de *x*?

<F-> 
P            R
pe            i
l  e        i  _
l    e    i    _
l      ei      _
l      o2x   _
l      ie      _ 
l    i O  e   _
l  i        e  _
vi            e# 
M            S

:M=2x-18
<F+>

 Tringulo {p{m{o issceles -- :M==:P -- med :P=2x-18
 :?{r{o{s*==:?{m{o{p*, so ngulos opostos pelo vrtice. -- med :?{m{o{p*=2x
<303>
 A soma dos ngulos internos do tringulo {p{m{o  180, ou seja:

 2x-18+2x-18+2x=180 
 6x-36=180
 6x=180+36
 6x=216 
 x=216~6
 x=36  

 Resposta: O valor de *x*  36.

 48. Para esta questo observe a figura da atividade anterior. Nela, {r{o{s  um tringulo issceles.
 a) Qual  a medida do ngulo {r{o{s? 
 b) Quais so as medidas dos ngulos do tringulo {r{o{s?

 49. Nesta figura, tringulo {a{b{p e tringulo {p{c{d so tringulos issceles e as letras *x* e *y* representam medidas em graus.

<F-> 
A            D
pe            i
l  e        i  _
l    e P  i   _
l      ei      _
l      o      _
l      ie      _ 
l    i    e    _
l  i        e  _
vi            e# 
B            C

:B=2y-30
:C=9x-10
:D=6x+20 
<F+>

 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Quais so as medidas dos ngulos internos do trimgulo {p{c{d?
 c) Qual  a medida de :?{a{p{b*?
<P>
 d) Quais so as medidas dos ngulos internos do tringulo {a{b{p?

 Problema resolvido

 50. Prove que dois tringulos retngulos so congruentes quando tm a hipotenusa e um dos catetos respectivamente congruentes.

 ^c?{a{b*==^c?{d{f*
 ^c?{a{c*==^c?{d{e*

<F->
        A  {d
         ~  ~
         j  le 
        i_  l e
       i _  l  e
      i  _  l   e  
     i   _  l    e
    i    _  l     e  
   i     _  l      e
  i  !:::w  r:::   e
 i   l_- _  l _-_    e 
j::::h:::j  h:::j:::::h 
B      C  E       F
<F+>
<P>
 Com os tringulos {a{b{c e {d{f{e compomos o tringulo {a{b{f, que  issceles e no qual ^c?{a{c*  a altura relativa  base ^c?{b{f*.

<F->
       A={d      
         je 
        i_ e
       i _  e
      i  _   e  
     i   _    e
    i    _     e  
   i     _      e
  i  !:::w:::   e
 i   l_- _ _-_    e 
j::::h:::j:::j:::::h 
B     {c={e      F
<F+>

 Como tringulo {a{b{f  issceles, ^c?{a{c*  tambm a mediana e ^c?{b{c*==^c?{c{f* ou ^c?{b{c*==^c?{e{f*.
 Portanto, tringulo {a{b{c == tringulo {a{f{c ou tringulo 
<P>
  {a{b{c == tringulo {d{f{e pelo caso {l{l{l.

 51. O tringulo {c{d{f  issceles com o ngulo de vrtice medindo 65 e a base, 9,5 cm. Se ^c?{c{h*  a altura relativa  base desse tringulo, quais so os valores de *y* e de *x*?

<F->
         C
         je 
        i_ e
       iy_  e
      i  _   e  
     i   _    e
    i    _     e  
   i     _      e
  i      _:::   e
 i       _ _-_    e 
j::::::::j:::j:::::h
D   x   H       F
<F+>

 52. No tringulo equiltero {p{q{r _`[no adaptado_`], ^c?{r{m* e ^c?{q{n* so medianas relativas aos lados desse tringulo e determinam os tringulos {m{q{r e {n{r{q. Nessas condies:
 a) Mostre que os tringulos {m{q{r e {n{r{q so congruentes.
 b) Mostre que :?{n{q{r* e :?{m{r{q* so ngulos congruentes.
 c) Que tipo de tringulo  o tringulo {a{q{r?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Oitava Parte